Espacios Vectoriales

¿Qué son los espacios vectoriales?

Un espacio vectorial es una estructura algebraica que se utiliza en matemáticas para estudiar vectores. En un espacio vectorial, los elementos son conjuntos de números en sí mismos. Cada elemento en un espacio vectorial es una lista de objetos que tiene una longitud específica, que llamamos vectores. Los espacios vectoriales se utilizan en muchos campos de las matemáticas y la física, como el álgebra lineal y la geometría.

En particular, es un conjunto no vacío V con dos operaciones definidas: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar. Estas operaciones deben cumplir ciertos axiomas para que el conjunto sea considerado un espacio vectorial

Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

Para que un conjunto de vectores forme un espacio vectorial, debe cumplir con ocho axiomas que involucran las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva y de identidad de las operaciones de suma y multiplicación por un escalar, Los axiomas son los siguientes:

1. Conmutatividad de la suma: u + v = v + u
2. Asociatividad de la suma: (u + v) + w = u + (v + w)
3. Existencia del vector nulo: existe un vector 0 tal que u + 0 = u para todo vector u.
4. Existencia del opuesto: para cada vector u existe un vector -u tal que u + (-u) = 0.
5. Distributividad del producto por un escalar respecto a la suma de vectores: a(u + v) = au + av.
6. Distributividad del producto por un escalar respecto a la suma de escalares: (a + b)u = au + bu.
7. Asociatividad del producto por un escalar: a(bu) = (ab)u.
8. Identidad del producto por un escalar: 1u = u.

¿Qué es un subespacio vectorial?

Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que el espacio vectorial original. En otras palabras, es un conjunto de vectores que es cerrado bajo la suma y la multiplicación por un escalar y que contiene al vector cero.

Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.

Para probar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial, se deben verificar las siguientes tres propiedades:

1. El vector cero de V está en W.

2. Si u y v son vectores en W, entonces u + v está en W.

3. Si u es un vector en W y c es un escalar, entonces cu está en W.

Explique cual es la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

Dimensión

Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).

La dimensión de Rⁿ con las operaciones normales es n.

La dimensión de P_n con las operaciones normales es n+1.

La dimensión de M_m,n con las operaciones normales es mn.

Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n.

Base

Una base para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas. Es un conjunto linealmente independiente que es a la vez sistema generador de dicho espacio o subespacio. 

La base es natural, estándar o canónica si los vectores v₁, v₂,…, v_n forman base para Rⁿ.
Si S={v₁, v₂,…, v_n} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:

 1. V = c₁v₁+ c₂v₂+…+ c_nv_n
 2. V = k₁v₁+ k₂v₂+…+ k_nv_n

Restar 2-1

0 = (c₁- k₁) v₁+(c₂- k₂) v₂+…+(c_n- k_n) v_n

Rango

El rango de un subespacio vectorial es el número de vectores en una base del subespacio. Una base de un espacio vectorial.

Transformaciones Lineales

¿ Que es una Transformación Lineal?

Una transformación lineal es una función que tiene como dominio y codominio espacios vectoriales. Es una regla de asignación que transforma vectores de un espacio en vectores de otro espacio. Es compatible con la estructura de los espacios vectoriales, es decir, con la operación y la acción. Se puede representar mediante matrices.  Se usa la letra T la cual indica una transformación lineal.

¿ Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal?

Condición 1

Se refiere a la adición, para que una transformación T sea lineal, tiene que cumplirse que:

Condición 2

La segunda condición representa la homogeneidad en la multiplicación de un escalar por un vector:  

La transformación lineal, tal como su nombre lo indica, se encarga de mapear o transformar elementos de V en elementos de W.

La notación para funciones también se utiliza en el caso de las transformaciones lineales, así, el dominio de V es el conjunto de elementos (vectores) a transformar, mientras que el codominio o recorrido es el conjunto resultante.

Enumere al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Las transformaciones lineales tienen cuatro propiedades que son el núcleo, la nulidad, la imagen y el rango.

- Núcleo

El núcleo de una transformación lineal Nu (T) está formado por todos aquellos vectores v que pertenecen al espacio vectorial V y que al ser transformados dan como resultado el vector cero. Es decir 

El núcleo puede expresarse como el conjunto de vectores generado a través de combinaciones lineales de sus vectores base.

Nulidad

La nulidad de una transformación lineal V (T) es la dimensión del núcleo, es decir, el número de vectores en la base del núcleo. Podemos expresar a la nulidad como:

Cuando el núcleo de una transformación sólo contiene al vector cero, entonces la nulidad es cero.

Imagen

La imagen de una transformación lineal im (T) está dada por el conjunto de vectores w que pertenecen al espacio transformado W y son obtenidos al aplicar la transformación T a vectores v que pertenecen al espacio V. La imagen también se puede expresar de manera equivalente como: 

De manera similar al núcleo, es más conveniente expresar a la imagen como el conjunto de vectores generado a través de combinaciones lineales de los vectores base del espacio transformado W.

Rango

El rango de una transformación lineal está definido como la dimensión de la imagen, es decir:

La suma de la nulidad más el rango es igual al número de renglones linealmente independientes de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones.

Ejemplo de una transformación lineal y comprobar si es lineal

Comprobar que la siguiente transformación T: R² → R² es lineal:

En primer lugar, debemos asegurarnos de que la transformación cumpla las dos condiciones descritas inicialmente, primero la de adición y luego la del producto de un escalar por un vector. Así que hay que tomar dos vectores V y U pertenecientes a R², escribiéndolos mediante la notación matricial o especificando las componentes.

Estos vectores son:

V = x₁, y₁

U = x₂, y₂

Primera condición

Recordando que los vectores se suman componente a componente, se tiene que verificar que:

T (v + u) = T (v) + T (u)

T (v + u) = T (x₁+ x₂ ; y₁ + y₂)

De aquí se obtiene que: T (x₁+ x₂ ; y₁ + y₂) = (x₁+ x₂; 0)

Por otro lado, al aplicar la transformación a cada vector por separado:

T (x₁ , y₁) + T (x₂ , y₂) = (x₁ , 0) + (x₂ , 0)

Al sumar los vectores resultantes se obtiene:

w =  (x₁+ x₂; 0)

Como ambos resultados son idénticos, la primera condición se cumple.

Segunda condición

Ahora debemos comprobar que, al multiplicar por un escalar c, este puede salir fuera de la transformación:

T(cv) = c*T(v)

Sean:

v = x₁, y₁

c*v = c⋅x₁, c⋅y₁

Entonces:

T(cv) = T (c*x₁, c*y₁ ) = (c*x₁ , 0)

Teniendo presente que del paso anterior se obtuvo T (v) = T (x₁, y₁ ) =  (x₁ , 0), por lo tanto como las dos expresiones son idénticas se puede determinar que el ejercicio corresponde a una transformación lineal.

Como probar una transformación Lineal

Determine si la transformación dada de V en W es lineal

Comprobamos la primera propiedad

Sean los polinomios

Comprobamos la segunda propiedad

Finalmente podemos determinar que la transformación es lineal ya que la transformación dada cumple con las dos propiedades definitorias, en donde la primera propiedad se ocupa de la suma y la segunda propiedad se ocupa de la multiplicación por un escalar. 

Aplicación del Algebra Matricial para la Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Realizar un resumen sobre los diferentes métodos que se aplican para solucionar sistemas de ecuaciones utilizando las matrices

Un sistema de ecuaciones lineales es aquel que se encuentra compuesto por dos o más ecuaciones, las ecuaciones que componen el sistema se representan mediante una recta, su solución se determina por el punto en donde se cruza cada recta. En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios casos:

Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.

Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado.

Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible.

Es importante destacar que dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales (de primer grado) se utilizan tres tipos de procedimientos:

Métodos algebraicos

Sustitución: consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y posteriormente se sustituye este resultado en las ecuaciones iniciales.

Igualación: En este método se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones, con el fin de igualar las expresiones algebraicas obtenidas. Dando como resultado una ecuación con una incógnita

Reducción: Se multiplican o se dividen cada uno de los términos de las dos ecuaciones por los números que se identifiquen, para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas, se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita, se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.

 Métodos gráficos

Cada ecuación del sistema se corresponde con un plano, se represente mediante una recta, en donde la solución del sistema se da cuando coinciden los puntos de intersección de todos los planos.

 Métodos matriciales

Un sistema de ecuaciones lineales puede expresarse en forma matricial de la manera siguiente: C * X = B, donde C es la matriz de los coeficientes, X la de las incógnitas y B la de los términos independientes, para dar solución al sistema de ecuaciones lineales usando los métodos matriciales, a continuación, se describen los procedimientos utilizados en este método:

matriz inversa: Es un procedimiento rápido, consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes (si existe). Es importante tener presente que cuando la matriz de los coeficientes no es inversible, el sistema no tiene solución por lo tanto es incompatible.

método de gauss: consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado. Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes si Todos los coeficientes son ceros, Dos filas son iguales, Una fila es proporcional a otra, Una fila es combinación lineal de otras.

método de gauss Jordan: El método de Gauss-Jordan es un procedimiento que sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Consiste en transformar la matriz ampliada del sistema en una matriz identidad mediante operaciones elementales de la fila. De esta forma, se obtienen las soluciones del sistema sin necesidad de hacer sustituciones hacia atrás.

método por determinantes: También llamado método de Cramer. Un determinante es un número que se obtiene a partir de una matriz cuadrada mediante una fórmula que involucra sus elementos. El método consiste en calcular el determinante principal del sistema, que se forma con los coeficientes de las variables, y los determinantes auxiliares, que se forman sustituyendo una columna del determinante principal por los términos independientes del sistema. Luego, se divide cada determinante auxiliar entre el determinante principal para obtener el valor de cada variable. Este método tiene la ventaja de ser rápido y sistemático, pero también tiene la limitación de que solo se puede aplicar cuando el determinante principal es distinto de cero.

2. Debe crear un mapa mental con los elementos clave del álgebra matricial y la solución de sistemas de ecuaciones.

3. Responder a las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál de los métodos es el más indicado para resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y por qué?

Considero que el método de gauss es el más indicado para resolver el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, ya que es sustituye el sistema inicial por otro equivalente, es decir aquel que tiene la misma solución, con el fin de conseguir un sistema triangular escalonado. obteniendo cero por debajo de la diagonal principal. 

b. ¿Qué ventaja tiene resolver un sistema de ecuaciones dos por dos con el método de determinantes?

Este método es aplicable en todos los sistemas de ecuaciones lineales, es fácil de realizar y los resultados que se obtienen en la solución son confiables. En el caso en que el determinante principal es igual a cero se puede deducir que el sistema de ecuaciones no tiene una única solución, es posible que no tenga solución o que tenga un número infinito de soluciones. 

c.  Enumere al menos tres métodos para calcular un determinante.

método de Sarrus: se utiliza para matrices de 3x3.

método de reducción por filas: se puede utilizar para matrices de cualquier tamaño.

método de expansión por cofactores: También se puede utilizar para matrices de cualquier tamaño.

Solución Sistema Ecuaciones Método de Gauss-Jordan

Como tarea formativa de aprendizaje resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan

Diferencia entre el método Gauss y Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan consiste en eliminar todos los términos de la matriz de coeficientes hasta dejar una matriz identidad, lo que resulta en que la columna de términos independientes contenga las soluciones del sistema, en cambio, en el método de Gauss, únicamente se elimina la diagonal de abajo y posteriormente se utilizan los términos restantes para hacer una sustitución y encontrar las soluciones.

Ventaja de aplicar el método de Gauss Jordan

El método Gauss-Jordan es muy eficiente para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Esto se debe a que la eliminación gaussiana se realiza en la matriz completa, lo que significa que se pueden resolver todos los sistemas de ecuaciones simultáneamente.

1. Permite resolver sistemas de ecuaciones grandes, ya que no requiere la solución de ecuaciones individuales. Además, se puede utilizar para sistemas de ecuaciones con cualquier número de variables.

2. Ofrece una solución única para los sistemas de ecuaciones lineales y se puede confiar en que la respuesta es precisa.

3. Es fácil de implementar en una computadora, lo que lo hace ideal para aplicaciones prácticas. Además, hay muchos programas de software que utilizan este método para resolver sistemas de funciones lineales.

En resumen, las ventajas del método Gauss-Jordan son su eficiencia, su capacidad para resolver sistemas de grandes ecuaciones, su capacidad para ofrecer una solución única y su facilidad de implementación.

Matrices Especiales

Las matrices especiales son aquellas que tienen ciertos tipos de características en particular, a continuación, las describiremos:

• Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada en donde cada uno de sus elementos es igual a cero, excepto por su diagonal principal en donde cada uno de sus elementos son iguales a uno, se representa con I_n.

• Matriz Diagonal:  Cada uno de sus elementos fuera de la diagonal son iguales a cero, se denota por [D]_ij = 0 para todo i≠j. En la matriz diagonal siempre se debe indicar la diagonal y su dimensión, a continuación, observaremos un ejemplo de una matriz diagonal.

A = diag ((1,2), 2*2)    B = diag ((3,2,5), 3*3)   C = diag ((2,2), 2*3)

• Matriz Triangular Superior: Todos los elementos que están por debajo de la diagonal, son iguales a cero, se denota de la siguiente manera [Ts]_ij = 0 si i > j. Ejemplo:

• Triangular Inferior:  todos los elementos que están por encima de la diagonal, son iguales a cero, es decir si a_ij = 0 para i < j

• Matriz Simétrica: Una matriz simétrica es una matriz de orden n con el mismo número de filas y columnas donde su matriz traspuesta es igual a la matriz original, es decir A = A^T Ejemplo:

• Matriz Transpuesta: La matriz traspuesta de una matriz A se denota por A^T y se obtiene cambiando sus filas por columnas (o viceversa). Sea A una matriz de dimensión m*n, denotamos al elemento de la fila i y columna j como A(i,j), siendo i<m y j < n. Entonces, se define la matriz traspuesta de A como la matriz AT de dimensión n*m tal que AT(j,i) = A(i, j), siendo i < m y j < n. En el siguiente ejemplo podemos observar que la primera fila de la matriz A es (1,0,4) y esta fila es la primera columna de su matriz traspuesta.

• Matriz ampliada: Es también llamada matriz aumentada, se forma al añadir a una matriz cuadrada otra matriz. La matriz aumentada se emplea para encontrar la matriz inversa y en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Este es un ejemplo de una matriz aumentada a partir de la matriz (A) aumentada con la matriz (B):

Procedimientos Determinante e inversa de una matriz

 

¿Qué conceptos identifica el alumno con respecto al álgebra matricial y sus aplicaciones?