Espacios Vectoriales

¿Qué son los espacios vectoriales?

Un espacio vectorial es una estructura algebraica que se utiliza en matemáticas para estudiar vectores. En un espacio vectorial, los elementos son conjuntos de números en sí mismos. Cada elemento en un espacio vectorial es una lista de objetos que tiene una longitud específica, que llamamos vectores. Los espacios vectoriales se utilizan en muchos campos de las matemáticas y la física, como el álgebra lineal y la geometría.

En particular, es un conjunto no vacío V con dos operaciones definidas: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar. Estas operaciones deben cumplir ciertos axiomas para que el conjunto sea considerado un espacio vectorial

Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

Para que un conjunto de vectores forme un espacio vectorial, debe cumplir con ocho axiomas que involucran las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva y de identidad de las operaciones de suma y multiplicación por un escalar, Los axiomas son los siguientes:

1. Conmutatividad de la suma: u + v = v + u
2. Asociatividad de la suma: (u + v) + w = u + (v + w)
3. Existencia del vector nulo: existe un vector 0 tal que u + 0 = u para todo vector u.
4. Existencia del opuesto: para cada vector u existe un vector -u tal que u + (-u) = 0.
5. Distributividad del producto por un escalar respecto a la suma de vectores: a(u + v) = au + av.
6. Distributividad del producto por un escalar respecto a la suma de escalares: (a + b)u = au + bu.
7. Asociatividad del producto por un escalar: a(bu) = (ab)u.
8. Identidad del producto por un escalar: 1u = u.

¿Qué es un subespacio vectorial?

Un subespacio vectorial es un subconjunto de un espacio vectorial que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que el espacio vectorial original. En otras palabras, es un conjunto de vectores que es cerrado bajo la suma y la multiplicación por un escalar y que contiene al vector cero.

Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.

Para probar si un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial, se deben verificar las siguientes tres propiedades:

1. El vector cero de V está en W.

2. Si u y v son vectores en W, entonces u + v está en W.

3. Si u es un vector en W y c es un escalar, entonces cu está en W.

Explique cual es la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

Dimensión

Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).

La dimensión de Rⁿ con las operaciones normales es n.

La dimensión de P_n con las operaciones normales es n+1.

La dimensión de M_m,n con las operaciones normales es mn.

Si W es un subespacio de un espacio vectorial n-dimensional, entonces se puede demostrar que la dimensión de W es finita y que la dimensión de W es menor o igual que n.

Base

Una base para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas. Es un conjunto linealmente independiente que es a la vez sistema generador de dicho espacio o subespacio. 

La base es natural, estándar o canónica si los vectores v₁, v₂,…, v_n forman base para Rⁿ.
Si S={v₁, v₂,…, v_n} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:

 1. V = c₁v₁+ c₂v₂+…+ c_nv_n
 2. V = k₁v₁+ k₂v₂+…+ k_nv_n

Restar 2-1

0 = (c₁- k₁) v₁+(c₂- k₂) v₂+…+(c_n- k_n) v_n

Rango

El rango de un subespacio vectorial es el número de vectores en una base del subespacio. Una base de un espacio vectorial.