Aplicación del Algebra Matricial para la Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Realizar un resumen sobre los diferentes métodos que se aplican para solucionar sistemas de ecuaciones utilizando las matrices

Un sistema de ecuaciones lineales es aquel que se encuentra compuesto por dos o más ecuaciones, las ecuaciones que componen el sistema se representan mediante una recta, su solución se determina por el punto en donde se cruza cada recta. En el análisis de un sistema de ecuaciones lineales se pueden presentar varios casos:

Si el sistema tiene solución, y ésta es única, se denomina compatible determinado.

Cuando presenta varias soluciones posibles, es compatible indeterminado.

Si no tiene solución, se denomina imposible o incompatible.

Es importante destacar que dos sistemas de ecuaciones lineales que tienen las mismas soluciones son equivalentes. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales (de primer grado) se utilizan tres tipos de procedimientos:

Métodos algebraicos

Sustitución: consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y posteriormente se sustituye este resultado en las ecuaciones iniciales.

Igualación: En este método se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones, con el fin de igualar las expresiones algebraicas obtenidas. Dando como resultado una ecuación con una incógnita

Reducción: Se multiplican o se dividen cada uno de los términos de las dos ecuaciones por los números que se identifiquen, para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas, se restan las dos ecuaciones resultantes, con lo que se elimina una incógnita, se resuelve la ecuación con una incógnita obtenida, y se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda.

 Métodos gráficos

Cada ecuación del sistema se corresponde con un plano, se represente mediante una recta, en donde la solución del sistema se da cuando coinciden los puntos de intersección de todos los planos.

 Métodos matriciales

Un sistema de ecuaciones lineales puede expresarse en forma matricial de la manera siguiente: C * X = B, donde C es la matriz de los coeficientes, X la de las incógnitas y B la de los términos independientes, para dar solución al sistema de ecuaciones lineales usando los métodos matriciales, a continuación, se describen los procedimientos utilizados en este método:

matriz inversa: Es un procedimiento rápido, consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes (si existe). Es importante tener presente que cuando la matriz de los coeficientes no es inversible, el sistema no tiene solución por lo tanto es incompatible.

método de gauss: consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado. Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes si Todos los coeficientes son ceros, Dos filas son iguales, Una fila es proporcional a otra, Una fila es combinación lineal de otras.

método de gauss Jordan: El método de Gauss-Jordan es un procedimiento que sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Consiste en transformar la matriz ampliada del sistema en una matriz identidad mediante operaciones elementales de la fila. De esta forma, se obtienen las soluciones del sistema sin necesidad de hacer sustituciones hacia atrás.

método por determinantes: También llamado método de Cramer. Un determinante es un número que se obtiene a partir de una matriz cuadrada mediante una fórmula que involucra sus elementos. El método consiste en calcular el determinante principal del sistema, que se forma con los coeficientes de las variables, y los determinantes auxiliares, que se forman sustituyendo una columna del determinante principal por los términos independientes del sistema. Luego, se divide cada determinante auxiliar entre el determinante principal para obtener el valor de cada variable. Este método tiene la ventaja de ser rápido y sistemático, pero también tiene la limitación de que solo se puede aplicar cuando el determinante principal es distinto de cero.

2. Debe crear un mapa mental con los elementos clave del álgebra matricial y la solución de sistemas de ecuaciones.

3. Responder a las siguientes preguntas:

a. ¿Cuál de los métodos es el más indicado para resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y por qué?

Considero que el método de gauss es el más indicado para resolver el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, ya que es sustituye el sistema inicial por otro equivalente, es decir aquel que tiene la misma solución, con el fin de conseguir un sistema triangular escalonado. obteniendo cero por debajo de la diagonal principal. 

b. ¿Qué ventaja tiene resolver un sistema de ecuaciones dos por dos con el método de determinantes?

Este método es aplicable en todos los sistemas de ecuaciones lineales, es fácil de realizar y los resultados que se obtienen en la solución son confiables. En el caso en que el determinante principal es igual a cero se puede deducir que el sistema de ecuaciones no tiene una única solución, es posible que no tenga solución o que tenga un número infinito de soluciones. 

c.  Enumere al menos tres métodos para calcular un determinante.

método de Sarrus: se utiliza para matrices de 3x3.

método de reducción por filas: se puede utilizar para matrices de cualquier tamaño.

método de expansión por cofactores: También se puede utilizar para matrices de cualquier tamaño.