¿ Que es una Transformación Lineal?
Una transformación lineal es una función que tiene como
dominio y codominio espacios vectoriales. Es una regla de asignación que
transforma vectores de un espacio en vectores de otro espacio. Es compatible
con la estructura de los espacios vectoriales, es decir, con la operación y la
acción. Se puede representar mediante matrices. Se usa la letra T la cual
indica una transformación lineal.
¿ Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal?
Condición 1
Se refiere a la adición, para que una transformación T sea
lineal, tiene que cumplirse que:
Condición 2
La transformación lineal, tal como su nombre lo indica, se encarga de mapear o transformar elementos de V en elementos de W.
La notación para funciones también se utiliza en el caso de las transformaciones lineales, así, el dominio de V es el conjunto de elementos (vectores) a transformar, mientras que el codominio o recorrido es el conjunto resultante.
Enumere al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales
Las transformaciones lineales tienen cuatro propiedades que son el núcleo, la nulidad, la imagen y el rango.
- Núcleo
El núcleo de una transformación lineal Nu (T) está formado
por todos aquellos vectores v que
pertenecen al espacio vectorial V y que al ser transformados dan como resultado
el vector cero. Es decir
El núcleo puede expresarse como el conjunto de vectores
generado a través de combinaciones lineales de sus vectores base.
Nulidad
La nulidad de una transformación lineal V (T) es la dimensión del núcleo, es decir, el número de
vectores en la base del núcleo. Podemos expresar a la nulidad como:
Cuando el núcleo de una transformación sólo contiene al
vector cero, entonces la nulidad es cero.
Imagen
La imagen de una transformación lineal im (T) está dada por el conjunto de vectores w que pertenecen al espacio transformado W y son obtenidos al aplicar la transformación T a vectores v que pertenecen al espacio V. La imagen también se puede expresar de manera equivalente como:
De manera similar al núcleo, es más conveniente expresar a la
imagen como el conjunto de vectores generado a través de combinaciones lineales
de los vectores base del espacio transformado W.
Rango
El rango de una transformación lineal está definido como la
dimensión de la imagen, es decir:
La suma de la nulidad más el rango es igual al número de
renglones linealmente independientes de la matriz de coeficientes del sistema
de ecuaciones.
Ejemplo de una transformación lineal y comprobar si es lineal
Comprobar que la siguiente transformación T: R2 → R2 es lineal:
En primer lugar, debemos asegurarnos de que la
transformación cumpla las dos condiciones descritas inicialmente, primero la de
adición y luego la del producto de un escalar por un vector. Así que hay que
tomar dos vectores V y U pertenecientes a R2,
escribiéndolos mediante la notación matricial o especificando las componentes.
Estos vectores son:
V = x1,
y1
U = x2,
y2
Primera condición
Recordando que los vectores se suman componente a
componente, se tiene que verificar que:
T (v +
u) = T (v) + T (u)
T (v +
u) = T (x1+ x2 ;
y1 + y2)
De aquí se obtiene que: T (x1+ x2 ; y1 + y2) = (x1+ x2; 0)
Por otro lado, al aplicar la transformación a cada vector
por separado:
T (x1 ,
y1) + T (x2 , y2) = (x1 , 0) + (x2 , 0)
Al sumar los vectores resultantes se obtiene:
w = (x1+ x2; 0)
Como ambos resultados son idénticos, la primera condición se
cumple.
Segunda condición
Ahora debemos comprobar que, al multiplicar por un escalar
c, este puede salir fuera de la transformación:
T(cv) = c*T(v)
Sean:
v = x1, y1
c*v =
c⋅x1, c⋅y1
Entonces:
T(cv)
= T (c*x1, c*y1 ) = (c*x1 , 0)
Teniendo presente que del paso anterior se obtuvo T (v) = T (x1, y1 ) = (x1 , 0), por lo tanto como las dos
expresiones son idénticas se puede determinar que el ejercicio corresponde a
una transformación lineal.
Como probar una transformación Lineal
Determine si la transformación dada de V en W es lineal
Finalmente podemos determinar que la transformación es lineal ya que la transformación dada cumple con las dos propiedades definitorias, en donde la primera propiedad se ocupa de la suma y la segunda propiedad se ocupa de la multiplicación por un escalar.
No hay comentarios:
Publicar un comentario